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量子电路优化取得最优结果

2023-05-19 18:18 发表自 腾讯量子实验室❞
腾讯量子实验室近期在受控量子态制备和一般量子电路的优化方面取得了重要进展。 在给定任意多个辅助量子比特的情况下，该工作给出了受控量子态制备这一核心问题的最优深度和大小的量子电路，为近期学术界在该领域的一系列探索画上圆满的句号。 文章还进一步将其应用到改进一般量子电路的无损压缩上，相比之前的结果，其在电路深度上有平方量级的提升。相关论文已发表在Quantum期刊上。


01 背景介绍


在过去的十年中，量子比特数和量子比特寿命都得到了大幅提升，但遗憾的是，目前尚缺乏在一个芯片上同时提高这两方面的性能。近两年，量子比特数发展尤其迅猛，比如IBM和谷歌等大公司相继宣布了他们的万级/十万级超导量子比特芯片的路线图。这无疑引来业界众多期许，但也自然带来了一个问题：我们能充分利用大量的量子比特来缩短量子计算的时间，使得这些量子比特在有限的寿命内为我们完成想要的计算吗？用量子电路的语言，就是如何利用大量辅助的量子比特，来尽量压缩量子电路的深度，从而减少量子比特寿命对量子电路运行效果的影响。


量子电路的复杂性具有三种常见的度量：电路大小、电路深度和量子比特数。其中，电路大小对应“量子电路中量子门的个数”，电路深度对应“执行量子电路的并行运行时间”，量子比特数对应“量子电路的空间成本”。这三者一般不能同时达到最优，尤其是深度（时间）和比特数（空间）之间往往是此消彼长的。为了达到压缩量子电路的目的，需要研究如何利用空间来换取时间。本文正是给出了量子电路的时间-空间之间的一个高效的trade-off，而且本文的构造可证明是最优的。

02 研究问题


在量子机器学习算法和哈密尔顿量模拟量子算法中，量子态制备（Quantum State Preparation, QSP）是一个重要且核心的过程，其电路复杂度会极大地影响整个量子算法的复杂度。量子态制备问题是说，对任意给定的  维的复向量：

设计量子电路制备其对应的  -量子比特的量子态：
  

部分量子机器学习算法不仅需要制备单个量子态，还需要同时制备多个量子态，实现如下变换:
  
其中  为  个量子比特控制位，每个  是一个  -量子比特的量子态。改变换被称为  -受控量子态制备（Controlled Quantum State Preparation, CQSP）问题。当控制位的量子比特数为  时，受控量子态制备问题退化成普通量子态制备问题。受控量子态制备问题在很多量子算法中都被隐含使用。例如在近二十年得到蓬勃发展的很多量子游走算法里，三个子过程初始设置（Setup），检验（Check）和更新（Update）中，初始设置和更新过程即是标准的量子态制备和受控量子态制备问题。

另一个更一般的问题是，任意量子算法可以表示为酉矩阵或者量子电路的形式，因此任意酉矩阵的高效量子电路实现即是任意量子算法的高效实现问题。

在文献[1-6]中，受控量子态制备和一般酉矩阵实现的量子电路构造问题得到了广泛研究。本文主要改进了这两个问题的量子电路构造，并在具有辅助量子比特情况下，讨论其最优的时间-空间（电路深度-辅助量子比特数）权衡（trade-off）。


03 主要结论


本文考虑由任意单量子比特门和CNOT门组成的标准量子电路。下面将展示受控量子态制备问题和任意酉矩阵实现的电路大小和电路深度。

受控量子态制备问题： 在任意给定   个辅助量子比特情况下，本文提出了电路大小为  且电路深度为   的   -受控量子态制备问题的电路实现，且电路大小和深度均为最优。当  时，该问题退化为量子态制备问题。


对于受控量子态制备问题的量子电路设计，本文分为两种情况进行讨论：
情况1（辅助比特数目   ）：将受控量子态电路制备问题的电路分解为   个大小不同的均匀控制门（uniformly controlled gate，UCG） 。在   -量子比特UCG中，   个量子比特作为控制位，1个量子比特作为目标位。当控制位为不同的标准基时，UCG在目标位作用不同的单量子比特门。在给定   个辅助量子比特情况下，通过文献[5]的方法实现每个均匀控制门。

情况2（辅助比特数目   ）：核心思想是尽可能将含参量子门安排在常数层电路中。首先，本文将文献[7]的量子态制备电路进改造为仅包含常数层含参量子门的量子电路。其次，基于仅包含常数层的含参量子门的量子态制备电路，将受控量子态制备电路分解为常数个深度不超过   的不含参子电路和常数个含参扩展版本的均匀控制门。最后，通过实现扩展版本的均匀控制门来实现量子态制备电路。

本文构造了受控量子态制备问题的最优电路，为该问题提供了完整的电路刻画，并对文献[5]中的量子态制备电路的深度进行了优化，得到了该问题的最优电路构造。受控量子态制备的电路构造同时还可以进一步运用于一般酉矩阵电路实现中。

一般酉矩阵实现问题：给定   个辅助量子比特，当   时，本文提出了电路深度为   的一般酉矩阵量子电路；当   时，本文提出了深度为   的一般酉矩阵量子电路。

基于受控量子态制备电路的构造和Grover算法的思想，一般酉矩阵电路实现方法如下：首先，不同于文献[5]将一般酉矩阵分解为指数个均匀控制门，本文多次使用cosine-sine分解，将一般酉矩阵分解为一些块对角酉矩阵和均匀控制门。其次，利用[6]中使用Grover算法的思想，将块对角酉矩阵分解为多个深度较小的不含参的子电路和含参的受控量子态制备电路。最后，分别实现受控量子态制备电路、均匀控制门和不含参的子电路。

该电路构造从两方面改进了文献[6]的结果。第一，利用更少的辅助量子比特得到了相同的电路深度   ：文献[6]需要   个辅助量子比特，而本文仅需   个辅助量子比特。第二，文献[6]的电路构造仅适用于特定数目的辅助量子比特，而本文的构造适用于任意数目的辅助量子比特。相较于文献[5]的结果，本文的量子电路深度有至多平方量级的提升。图1为一般酉矩阵量子电路深度上下界的结果比较。

    图1. 本文一般酉矩阵的量子电路深度与前人结论的比较：当辅助比特数大于 时，本文电路深度相较于文献[5]有平方量级的改进。

    相关论文: Optimal (controlled) quantum state preparation and improved unitary synthesis by quantum circuits with any number of ancillary qubits. Pei Yuan, Shengyu Zhang, Quantum, 7, 956 (2023).
    论文地址：https://quantum-journal.org/papers/q-2023-03-20-956/

    参考文献
    [1] Tiago M. L. de Veras, Ismael C. S. de Araujo, Daniel K. Park, and Adenilton J. da Silva. “Circuit-based quantum random access memory for classical data with continuous amplitudes”. IEEE Transactions on Computers 70, 2125–2135 (2021).
    [2] Olivia Di Matteo, Vlad Gheorghiu, and Michele Mosca. “Fault-tolerant resource estimation of quantum random-access memories”. IEEE Transactions on Quantum Engineering 1, 1–13 (2020).
    [3] Ville Bergholm, Juha J. Vartiainen, Mikko Möttönen, and Martti M. Salomaa. “Quantum circuits with uniformly controlled one-qubit gates”. Phys. Rev. A 71, 052330 (2005).
    [4] Martin Plesch and Caslav Brukner. “Quantum-state preparation with universal gate decompositions”. Phys. Rev. A 83, 032302 (2011).
    [5] Sun, Xiaoming, Guojing Tian, Shuai Yang, Pei Yuan, and Shengyu Zhang. "Asymptotically optimal circuit depth for quantum state preparation and general unitary synthesis." IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems (2023).
    [6] Gregory Rosenthal. “Query and depth upper bounds for quantum unitaries via Grover search” (2021). arXiv:2111.07992.
    [7] Juha J. Vartiainen, Mikko Möttönen, and Martti M. Salomaa. “Efficient decomposition of quantum gates”. Phys. Rev. Lett. 92, 177902 (2004).