相关论文: Variational quantum-neural hybrid eigensolver, Shi-Xin Zhang, Zhou-Quan Wan, Chee-Kong Lee, Chang-Yu Hsieh, Shengyu Zhang, and Hong Yao, Physical Review Letters, 128(12), 120502.
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在容错量子计算的框架下，原则上可以通过绝热演化的思路，有效的制备出大多数体系哈密顿量对应的基态。然而这种容错量子计算需要依靠操作大量具有较高精度的物理量子比特才能实现，显然现有的技术是无法达到要求的。在所谓有噪音中等规模量子（noisy intermediate-scale quantum, NISQ）时代【1】，实际的量子计算常常是通过经典与量子结合的方案来实现的，因为这样可以有效的降低所需要的量子资源。对于前述的基态求解问题，我们可以利用带经典参数的量子电路来制备一个试探波函数，并利用经典优化器来优化这些参数，希望得到基态波函数的近似。这种求解基态波函数的方法通常被称为变分量子本征值求解器（variantional quantum eigensolver, VQE）【2】，被尝试应用在诸如分子，量子自旋系统等体系中。
VQE是在NISQ时代最常被用来尝试寻找量子优势的算法框架之一。如果想要充分发挥VQE的量子优势，我们应该去设计一些有能力表征更大量子纠缠的量子电路。在前人的研究中，主要有两类量子电路设计：一种是物理启发的方案，另一种是硬件高效的方案。对于前者，一些成熟的量子化学的方法被借鉴到量子计算当中。我们可以构建一个被称为 unitary coupled cluster（UCC）的电路拟设，这种在VQE中最知名的电路拟设就是受到量子化学中coupled cluster方法的启发而得到的【2-5】。这种量子电路拟设通过参数的优化后，原则上可以给出非常高精度的基态波函数近似结果。但由于这种量子电路要求很多指数算符的实现，使得其电路需要非常深。从而限制了这种电路在NISQ时代的广泛应用。
因而出现了第二种电路设计，即追求硬件高效的方案【6】。这种设计电路的想法是利用一些硬件自带或容易实现的量子门，并充分利用量子硬件比特的连接性质来设计电路。尽管这类电路很容易在硬件上实现，它们对于基态的近似相比物理启发的电路却并不出色。因此在NISQ时代，大家希望能找到一个不消耗很多量子资源的情况下还能够提升VQE表现的方法，而这就是这篇文章所要解决的问题。
正如文章名称所示，我们将现代的神经网络按照量子-经典耦合的范式引入到传统的VQE当中。将神经网络与量子计算相结合的方法之前已有一些工作采用，以提升量子计算在机器学习等任务中的表现。但是不同于机器学习任务中的判别回归等问题，VQE任务需要输出一个量子态而不是一个简单的标量或是多项式维的矢量。这种输出的量子性要求使得将神经网络或是经典的后处理引入进来变得更加困难。在文献【7】中，其中作者将被称为Jastrow factor的算符
在这篇文章中，我们发展了称为VQNHE的算法，运用经典后处理的方法成功解决了之前提到的将VQE与经典后处理结合所遇到的挑战：
1）VQNHE具有更大的表达能力，因其将后处理用一般的神经网络表达而不是局限于某种特定形式；2）VQNHE只要求与传统VQE一致的量子资源，且经典的额外开销可以证明是多项式的（对于神经网络函数的输出范围以及体系尺度而言）。
01 方法
图1 . VQNHE算法流程示意图
上图是VQNHE算法流程的示意图。假设带参数量子电路的输出态为
其中
通过调节含参量子电路（PQC）以及神经网络中的变分参数，使这一能量期望值在参数空间中最小化。前面提到的Jastrow factor实际上是一个特殊的情况：
在整个算法流程中，最关键的就是要去有效的计算（2）式中的能量期望值。我们知道系统哈密顿量可以分解成一些泡利算符串，我们只要解决如何求出一个任意泡利算符串的期望值，最后再进行求和即可。因此，为了简单起见，我们下面就将H当作一个单独的泡利算符串。
首先，（2）式分母部分可以非常简单的直接得到，只需要在测量基（Z）下测量PQC一定次数得到一组s，再求
对于分子部分，如果泡利算符串只包含I与Z算符，那么在测量基下这个算符仍是对角的，我们可以按照和分母部分类似的处理，只不过计算
整个VQNHE算法的核心优越性就体现在能够有效的计算包含X，Y算符的H的期望值。对于这种情况，我们先将其中一个X，Y算符对应的量子比特标记为符号比特，为了讨论简单我们重新排列这些量子比特使得这个符号比特位于整个电路的第零位。由于泡利算符串的性质，在测量基下的一个态s在其作用下会变成另一个态
从上面的形式中我们可以看出H的本征矢可以用
其中
通过以上的形式可以看出，如果经过测量我们可以同时得到 （
1. 对于除了符号比特之外的其他量子比特，我们作用一个control-X/Y/Z 门并由符号比特控制，X/Y/Z是根据这一量子比特上的泡利算符决定的（对于Z，可以省略对应的控制门，并在最后的计算中引入额外的因子
2. 符号比特在对应泡利算符的基测量，其他量子比特均在Z测量。
图2 . 一些测量电路的具体例子
图2中举了一些测量电路具体实现的例子。将这样的测量电路作用在PQC上后进行测量我们就收集到了一些比特串的结果s，我们就可以通过下面的公式计算得到要求的能量期望值：
其中分母中的s是直接测量PQC得到的，而分子上的s是作用测量电路后再进行测量得到的。
从测量电路的构造就可以看出，VQNHE算法额外的量子资源开销至多只有m-1个双比特门，其中m是泡利算符中X,Y的个数。对于一般的短程相互作用的哈密顿量，m=O(1)，是可以忽略的。除此之外，可以证明对于能量期望值达到与传统VQE同样的精度只需要多项式多的测量次数。我们将VQNHE的复杂度与之前的经典后处理算法做一对比，结果如下：
表1 . VQNHE与之前方法【7，9】复杂度的对比
解决期望值计算的问题后，我们就可以通过参数平移，反向传播等方法得到PQC以及神经网络参数对应的梯度，进而可以用基于梯度的经典优化器来优化这些参数最后得到基态能量、波函数的近似。
可以看到，上述的算法将传统的VQE以及经典的神经网络后处理进行了结合，对比之前的方法具有指数的加速。
02 结果
我们将VQNHE算法应用到几种不同体系中，以检验其实际表现。这些体系包括一维横场伊辛模型，一维海森堡模型，LiH，
其中12个自旋的横场伊辛模型与海森堡模型的数值模拟结果如下表：
表2 . 横场伊辛模型以及海森堡模型数值模拟结果
可以看到VQNHE的结果明显好于用同等量子资源的VQE给出的结果，大约提升了两个数量级。
我们进一步在IBM的量子硬件以及带噪音模拟器中实现VQE以及VQNHE算法。受限于量子硬件，这里我们的模型采用的是五自旋的横场伊辛模型，具体结果如图所示：
图3 . 五比特IBM硬件及模拟器结果对比
可以看到VQNHE算法在有量子噪音以及测量带来的不确定性的情况下仍表现的不错。
接下来我们对LiH的离解能量曲线进行计算，这是VQE算法常见的基准检测用的体系。在每个键距参数下，采用独立优化20次VQE以及VQNHE算法，采用其中最佳的结果，如下图所示：
图4 . LiH不同键距计算结果
VQNHE算法在这一体系中的误差已经达到了用受限玻尔兹曼机做VMC的最佳结果【10】，对比而言，采用相同电路结构的VQE算法的结果则明显差了两个数量级左右。
最后我们还将VQNHE应用在
03 讨论
文章中的VQNHE算法是VQE以及VMC的一种交叉。它类似于处理复值波函数时VMC采用的方法也就是用两个计算图，其中一个表示波函数的振幅模值，另一个表示波函数的相位结构。一般来讲相位结构是比振幅更难捕捉到的，因此之前有工作提出用张量网络来表达波函数的相位信息【11】。在VQNHE的框架中，我们也可以将PQC部分看成是表达相位信息的部分。因为PQC本身具有量子性，有理由相信它能够有效的表达出目标态的相位信息或是量子纠缠。除此之外，PQC的抽样是直接抽样，没有经典的Metropolis-Hasting抽样方法可能有的低接收率的问题。总之VQNHE方法既可以看作是神经网络加强的VQE也可以看作是量子计算辅助的VMC，并且某种程度上结合了两者的优势。
将VQNHE与量子结构搜索或是适应性VQE等结合可能会进一步提升算法的表现。而且在VQNHE实际应用中对噪音表现出的鲁棒性也是很值得系统的研究的，在这个方向上我们已经有了另一篇工作去讨论，有兴趣的读者可以参考arXiv: 2112.10380。
04 总结
这篇文章中我们提出了VQNHE算法，将经典非酉后处理与含参量子电路结合提升了传统VQE算法的表现。这一算法通过量子经典相结合的方式表达一个量子态以使其在有限的量子硬件资源上得到更强的表达能力，结果也表明在不同任务中VQNHE都一致好于传统VQE算法。我们也提出了VQNHE在实际硬件中可以有效实施的方案。我们证明了一般性的对角非酉后处理都可以在VQE中应用，且额外开销仅仅是多项式的，对比之前研究的方案是一种指数的加速。